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Ranking

引用:https://ccmath.meijo-u.ac.jp/~suzukin/dl/katatinokagaku(ranking).pdf

Question1

D T G M
D 4勝2敗 5勝1敗
T 2勝4敗 12勝0敗
G 1勝5敗 0勝12敗 0勝2敗
M 2勝0敗

どのチームが優勝か?

 

①全体の成績は

D:9勝3敗

T:11勝4敗

M:2勝0敗

なので勝率の高いMが優勝

 

②試合数を12に揃えるために

D対Tの4勝2敗、D体Gの5勝1敗、M対G2勝0敗を

8勝4敗、10勝2敗、12勝0敗に換算し、

M、T、Gの対戦は全て6勝6敗と換算する

この換算で

D:24勝12敗

T:22勝14敗

M:24勝14敗

となって、DとMが優勝

 

➂M、T、Gの対戦をすべて引き分けと考えると

D:9勝3敗

T:14勝4敗18引き分け

M:2勝0敗34引き分け

 

[3-1]試合数が少ないので勝率よりも(勝ち数)-(負け数)で判断すると

順位はT、D、M、G。

[3-2]勝ちにm点、引き分けにn点、負けは0点とすると

m、nの比率によって順位が変動する

[3-3]強いチームに勝つことと、弱いチームに勝つことは同じ価値ではない。

あるチームに勝つことの価値と負けることの価値を

・勝つことの価値=勝ち数÷全試合数

・負けることの価値=-(負け数)÷全試合数

で定めると

全試合数 勝ち数 負け数 勝つ価値 負ける価値
D 12 9 3 9/12 -3/12
T 18 14 4 14/18 -4/18
G 20 1 19 1/20 -19/20
M 2 2 0 2/2 -0/2

 

これに従って各チームの強さを計算する。Dの強さは

4*14/18 – 2*4/18 + 5*1/20 – 1*19/20 + 2*2/2 – 0*0/2 = 59/30

となる。順位はD、T、M、G。

 

 

 

Question2

9人の審査員が順位付けした。誰が優勝か?

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
1 3 3 1 3 1 3 1 2
2 1 2 3 1 2 1 3 3
3 2 1 2 2 3 2 2 1

 

①順位の合計によって決めようとしても決められない

1位の数 2位の数 3位の数 順位の合計
4 1 4 18
3 3 3 18
2 5 2 18

 

②1位にa点、2位にb点、3位にc点とすると、

a-b=b-cならば 3人とも同じ点になる

a-b>b-cならば 英、美、日の順になる

a-b<b-cならば 日、美、英の順になる

 

[2-1]「下手でない人」ではなくて「より多くの人を感動させた人」に勝たせてあげたいので、1位と2位の差は2位と3位の差より大きくすべき。

[2-2]賛否両論がおおいものよりも、全員から評価される方が良いので、1位と2位の差は2位と3位の差より小さくすべき。

 

➂2人ずつを比較すると3すくみになり優劣が付かない

英VS美を比べると5対4、美VS日は5対4、日VS英は5対4

 

④3人の獲得した順位を良い順に並べると

英=(1,1,1,1,2,3,3,3,3)

美=(1,1,1,2,2,2,3,3,3)

日=(1,1,2,2,2,2,2,3,3)

審査員が9人なので、その中間である5番目の順位(DP=DecidingPlace)を見ると、この場合全員2位なので優劣が付かない。

その時は2位までの順位を出した審査員の数(NDP=Number of Deciding Place)の大きい人を上位にします。日が優勝。もしこれでも決まらなければSDPやSPを出す。フィギュアスケートで実際に採用されていた判定法。